¿Qué es una estructura algebraica? Monoides

Nivel: Básico (Prepa+)

Requisitos: Uso del lenguaje algebraico

Introducción

Una estructura algebraica es un conjunto X dotado de una o varias operaciones (funciones f : X × X → X ) que satisfacen ciertas propiedades. En esta lección analizaremos ejemplos de monoides conmutativos, la cual es una de las estructuras algebraicas más básicas.

Desarrollo

Hay ciertos conjuntos de números con los cuales trabajamos desde siempre, comenzando por los números naturales N={0,1,2,3,4, . . .} cuyo uso primordial es enumerar, contar objetos (costales, amigos, pesos mexicanos, horas...)

¿Cuáles son las operaciones básicas que se pueden efectuar en N? Una primera respuesta nos remite a las cuatro operaciones aritmeticas básicas de la primaria: adición, resta, multiplicación y división. Aqui estaremos interesados en las propiedades de la primera operación; ¡analicémoslas!

La adición (símbolo: +) en N es una operación que satisface (si no lo recuerdas, verifícalo):

1. Asociatividad: (a+b)+c=a+(b+c)
2. Conmutatividad: a+b=b+a
3. Elemento neutro: el 0 cumple que a+0=a

Con estas propiedades, la pareja (N, +) que consta del conjunto de los números naturales con la operación adición, es un ejemplo de monoide conmutativo, vaya nombre para algo tan sencillo, ¿no crées?

Definición [Monoide]: Un conjunto M con una operación * : M × M → M (denotada como a*b) que es asociativa y tiene elemento neutro. Si además la operacion es conmutativa, se le conoce entonces como un monoide conmutativo.

Ejemplo (Geometría)
¿Podremos dar otro ejemplo de monoide? Consideremos el cuadrado ABCD:

Figura 1

Nuestro conjunto M consistirá de las cuatro rotaciones ilustradas a continuación:

Figura 2.

Esto es, M={a,b,c,d} (¡no {A,B,C,D}, que son los vértices de nuestro cuadrado!). Ahora necesitamos dotar a M de una operacion, es decir, asociarle de manera única una rotación a cada pareja de elementos en M. La operación será la composición de rotaciones (es decir, aplicar primero la de la derecha y después la otra), y la denotaremos por el simbolo *.

Por ejemplo, b*c=d, pues observa que c rota el cuadrado en 180° y despues b lo rota en 270°, lo cual equivale a rotarlo en 90°, esto es, equivale a aplicar d. Tu mismo puedes calcular el resultado de operar dos rotaciones, te sugerimos un método: en una hoja de papel reproduce el cuadrado de la Figura 1, recórtalo y comienza a rotarlo la cantidad de grados que indique el elemento de M, observa que el resultado final de la composición es simplemente la letra minúscula que corresponde al vértice ubicado en la esquina superior-derecha.

Nosotros ya calculamos la tabla de multiplicar (el resultado de todas las operaciones posibles entre elementos de M) de (M ,*) y te la presentamos aquí:

Figura 3.

De la tabla, podemos observar que la operacion * es conmutativa y tiene elemento neutro (¿cuál será?). Lo que también es cierto es que la operacion * es asociativa, pero la comprobación te la dejamos a ti.

En pocas palabras, (M, *) es un monoide conmutativo; en la literatura matemática se le conoce como el Grupo ciclico de orden 4. ¿Por que se llama grupo y no monoide? Esta pregunta se contestará posteriormente, pero aquí dejamos una observación útil:

a*a = b*d = c*c = d*b = a.

Es decir, todo elemento de M tiene un inverso con respecto a la operación * (lo cuál no cumple N, por ejemplo), y cualquier monoide con esta propiedad se conoce como grupo.

Ejemplo (Computación)

Consideremos S el conjunto de las letras del abecedario S={a, b, c, d, e,. . .} y sea A(S) el conjunto de todas las palabras con caracteres de S. Es decir, los elementos de A(S) son todas las cadenas de caracteres x1x2...xn con los xi elementos de S. Por ejemplo, las siguientes son palabras con caracteres en S:

mama, aaaaaaa, ritudeyrh, e, yurjsperyrr

Denotamos por & la palabra vacía, es una palabra en A(S) que no tiene caracteres. Definimos una operación * en A(S) como sigue: dadas dos palabras x1x2...xn y w1w2...wn hacemos

x1x2...xn*w1w2...wn = x1x2...xnw1w2...wn

Es decir, la operacion en A(S) es la concatenación de palabras. Por ejemplo (abc)*(cba)= abccba, (ma)*(ma)= mama. Observemos que si concatenamos cualquier palabra con la palabra vacia, aquella no cambia, esto es, la palabra & es un elemento neutro para la operación *. Finalmente, la operación * es asociativa (¿será conmutativa?)
Concluimos que la pareja (A(S), *) es un monoide.

Conclusiones
Las estructuras algebraicas aparecen en distintos contextos, no solo con conjuntos de números.
Los nombres de las estructuras algebraicas provienen de las propiedades que cumplen sus operaciones.